実結晶 ── 岩塩を、部品から組み立てる

今回の持ち帰り：NaCl は、面心（F）格子と特殊位置のおかげで、ごく少ない情報（代表の原子＋空間群）から組み立てられる。

ここまでで、周期結晶の対称を組み立てる部品がそろった。並進（格子）、回転（と、許される回数の制限）、らせん・映進（並進の混ざった操作）、そして 心（増えた並進）。今回は、その部品を ── ほんものの結晶ひとつに、全部いっぺんに効かせてみる。

題材は 岩塩（NaCl）。台所にある、あの塩だ。地味に見えて、これまでの話がきれいに全部出てくる、とても良い見本なんだ。

岩塩は、二つの面心が噛み合っている

岩塩は、ナトリウムイオン（Na⁺）と塩化物イオン（Cl⁻）が、3次元の市松模様に並んでいる。どのNa⁺のまわりにも6個のCl⁻が上下・左右・前後にいて、Cl⁻から見ても同じ。── この「6方向を向いた」高い対称が、あとで効いてくる。

ここで、Na⁺だけを取り出して、その居場所に目印を打ってみる。すると、立方体の 角 と、6つの面の中心 に並ぶ。これは ── 前回 の 面心（F） そのものだ。Cl⁻だけを取り出しても、やはり面心。岩塩は、面心の格子が二つ、半分ずらして噛み合った 構造なんだ。

Na⁺を (0, 0, 0) に置くと、Cl⁻は辺の真ん中 (1/2, 0, 0) にいる。胞の辺の半分だけずれた、もう一組の面心。だから岩塩の空間群は、面心（F）の立方晶 ── 記号で Fm-3m（番号225）という。④で見た心が、ここに実物として顔を出している。

代表座標と、絵で見える位置のズレ。少しややこしいので、先に潰しておくね。Cl の 代表位置 としては、前回出した 4b ＝ (1/2, 1/2, 1/2)（体心の側）を書くことが多い。一方、いま絵で見た Cl は (1/2, 0, 0) のような 辺の真ん中 にも現れる。これは矛盾じゃないんだ。F格子では、中心化並進 (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2) を足した先も、同じ組の等価点になる。たとえば (1/2,1/2,1/2) ＋ (0,1/2,1/2) ＝ (1/2, 1, 1) で、modulo 1 にすると (1/2, 0, 0)。つまり「代表として書く座標」と「単位胞の中に実際に見える等価位置の一つ」が、違って見えているだけ ── どちらも同じ Cl の仲間だよ。

192のうち、原子は「特等席」にしか座らない

ここで、④の数を思い出してほしい。Fm-3m では、一般の点の等価点が 192個 だった（これは「格子並進を同一視した代表操作の数」でもある ── 空間群そのものの操作は、格子並進を全部含むので無限にある）。なら、原子を一個置くと192個にコピーされて、単位胞がぎゅうぎゅうになりそうに思える。でも、実際の岩塩の単位胞に入っているのは、Na 4個・Cl 4個 ── たった8個だ。なぜ、192にならないのか。

鍵は、原子がどこに座っているか にある。192という数は、どの対称要素（回転軸・鏡・反転中心）の上にも乗っていない 一般位置 に点を置いたときの、コピーの数だ。ところが岩塩の原子は、そんな中途半端な場所には居ない。立方体の角 (0, 0, 0) のような、対称のいちばん高い場所 に座っている。

角は特別だ。48個の点群操作（回転・鏡・反転）の すべてが、この点を動かさない。回しても裏返しても、角は角のまま。だから、192個あったはずの行き先のうち、点群ぶんの 48個がぜんぶ同じ一点に重なって しまう。残るのは、心の ×4 だけ。

だから角に置いたNa⁺は、単位胞のなかで 4個 に落ち着く。Cl⁻も同じ理屈で4個。市松模様の単位胞に Na 4・Cl 4 ── ぴったり合う。

「基底はNaClひと組」と「Na4個・Cl4個」は、両立する。第1回 では「基底は NaCl のひと組」と言い、今回は「Na 4個・Cl 4個」と言っている。食い違って見えるけれど、見ている箱が違うだけなんだ。

• NaCl を 素な胞（primitive cell） で見ると、基底は NaCl 1組ぶんでいい。
• でも、立方体として見やすい 慣用 F 胞（conventional cell） で見ると、その中には素な胞が 4個ぶん 入っている。

だから慣用胞では Na 4個・Cl 4個になる。「基底はひと組」と「慣用胞には4組」は、箱の取り方の違いで両立する、ということだね。

用語を、ひと組だけ整理しておく。

• 一般位置（general position）：どの対称要素の上にも乗っていない、ありふれた点。コピーが最も多い。Fm-3m なら192。
• 特殊位置（special position）：回転軸・鏡・反転中心などの上に乗った点。その点を動かさない操作のぶん、コピーが重なって減る。
• site symmetry：その点を 動かさない 対称操作の集まり。一般位置では恒等だけ（だから減らない）、角のような特殊位置では大きい（角では48個ぜんぶ）。
• multiplicity（多重度）：単位胞の中での、その点のコピーの数。関係は一行 ── multiplicity ＝（一般位置の数）÷（site symmetry の大きさ）。角なら $192 \div 48 = 4$。

こういう席には記号が付いていて、Naの座る席は 4a、Clの席は 4b と呼ばれる（Wyckoff 位置という）。頭の数字 4 が、いま出した multiplicity だ。

注意してほしいのは、これは NaClのような高対称で単純な結晶での話 だということ。複雑な結晶では、原子が一般位置に座ることもふつうにある。「原子はいつも特殊位置」ではない ── 岩塩は、対称が高くて部品が少ないからこそ、こうきれいに特等席へ収まるんだ。

ここは、③の話とも繋がっている。映進やらせんの上では点が潰れないけれど、回転軸や鏡の 交わる一点 では、こうして席が一気に減る。「どこに座るか」で、増え方がまるで変わる ── それが結晶を、ぎゅうぎゅうにせず、すっきり組み立てている理由だ。

エクスプローラーに、触れてみる

部品はそろった。岩塩で、それが全部効くのも見た。── では、3D空間群エクスプローラーに触れてみよう。230通りある空間群を、立体で回しながら覗ける教材用の道具だ。

ことわっておくと、これは 教材用 の道具で、国際表（International Tables）との逐一の照合はまだ途中の項目もある（設定や原点の取り方など）。対称の感触を掴むには十分だけれど、論文に使う厳密値は、専門のデータベースで確かめてほしい。誠実に、そこは区別しておこう。

最初は、見慣れない画面に見えるかもしれない。でも大丈夫 ── ここまでの部品を持っていれば、もう読める。試しに、こう触ってみて。

• 番号 225（Fm-3m） を選ぶ。一般の点を置くと、等価点が 192個 ずらりと現れる。④の数が、立体でほんとうに出てくるのを確かめて。
• その点を、ゆっくり 角 (0, 0, 0) や中心へ 動かしてみる。ある瞬間、点が バチンと重なって数が激減 する。192 → 4。これが、いま見た「特等席（特殊位置）に座ると multiplicity が下がる」だ。
• 各点についている 小さな三脚 を見て。左右が反転して見える三脚は、第1回 でやった 第2種（鏡・反転） の操作でできたコピー。右手と左手が、立体でちゃんと見分けられる。

触っているのは、もう「謎の3Dお絵かき」じゃない。並進・回転・心・特殊位置 ── 名前のついた部品が、目の前で動いているだけなんだ。

次は、約束を破ってみる

この章はずっと、たった一つの約束 ── 並進でくり返す ── を足場に進んできた。許される回転が 1・2・3・4・6 に限られたのも、5回が弾かれたのも、すべてこの約束から出てきた。

最後に、その約束を、わざと破ってみる。周期的にはくり返さないのに、長い距離にわたって秩序はある ── そんな並びを許したら、何が起きるか。弾かれたはずの 5回対称が、堂々と戻ってくる。それが 準結晶（並進周期性はないが長距離秩序を持つ、非周期結晶）。この道の、いちばん最後の話だ。