心（centering）── 並進が、もう一本増える

今回の持ち帰り：centering（心）は、慣用胞の中に現れる「追加の分数並進」。これが増えるたびに、単位胞内の等価点が倍々になる。

前回は、回転や鏡に並進を「少し」混ぜると、らせんや映進という新しい操作が生まれるのを見た。今回は、混ぜるのではなく ── 並進そのものが、もう一本増える という話をする。

この章の最初の約束を思い出してほしい。周期結晶とは「同じ模様が並進でくり返すもの」だった。その並進の足場が格子だ。これまで暗黙に、格子点は単位胞の角にあると思ってきた。でも、いつもそうとは限らないんだ。

角だけじゃない、中にもある

単位胞という箱を考える。いちばん素直なのは、格子点が箱の角だけにある場合。これを 素な格子（P, primitive） という。角は隣の箱と分け合うから、ひとつの箱が持つ格子点は、数えるときっちり1個ぶんだ。

ところが結晶によっては、箱の 面の真ん中 や、立方体のど真ん中 にも、まったく同じ環境の格子点が居る。岩塩や銅がそうだ。これを 心（centering） といって、どこに余分な点があるかで名前が付く。

増えるのは「格子点」。ここで増えているのは格子点であって、原子そのものではないよ。格子点は、同じ基底（中身）を置くための“足場”だ。何の原子を置くかは、あくまで基底の側で決まる。だから心が増えても、いきなり新種の原子が湧くわけじゃない ── 足場が増えるだけ、ということになるね。

C（底心／ C面心）── 一組の向かい合う面の中心に、もう一点ずつ。
I（体心）── 立方体のど真ん中に、もう一点。
F（面心）── 6つの面ぜんぶの中心に。

下のラボで、P → C → I → F と切り替えて、点が増えていくのを見てほしい。

centering全画面で開く ↗

余分な点は「中心化並進」

ここが今回の急所だ。箱のど真ん中に点があるということは、角の点からそこへ届く 新しい並進ベクトル が一本増えた、ということなんだ。これを 中心化並進 という ── 慣用胞（あとで説明する、対称が見やすいように大きめに取った箱）の中に現れる、分数の並進 だ。

体心（I）なら、角 (0, 0, 0) からど真ん中 (1/2, 1/2, 1/2) へ。これは胞の辺（成分1）に対して分数の座標を持つ並進だね。面心（F）なら、(1/2, 1/2, 0) や (1/2, 0, 1/2) のような中心化並進が、いっぺんに増える。

「modulo 1 で見る」って？ 整数ぶんのずれを無視して、座標の小数部分だけを見る、という意味だ。たとえば x 座標で 1.5 進むのは、「1周期ぶん進んでから、さらに 0.5 進む」こと。周期結晶では1周期ぶん先は同じ模様だから、1.5 と 0.5 は単位胞の中では同じ位置として扱える。だから中心化並進は、座標の小数部分だけ（modulo 1）で数えれば足りるんだ。たとえば (3/2, 1/2, 1/2) は (1/2, 1/2, 1/2) と同じ中心化並進、ということになる。

そして並進が増えれば、その並進も立派な対称操作だ。「ずらしても模様が変わらない」── 周期結晶の定義そのものだからね。

操作（の代表）が、倍々に増える

前回、対称操作はぜんぶ $X' = W X + w$ と書けると約束した（ $X$ がもとの点、 $X'$ が写った先、 $W$ が三脚の行き先のメモ＝行列、 $w$ が足すずらし）。心の効果は、この式の上でとても素直に出てくる。

いま、ある操作 $X' = W X + w$ が結晶の対称だとする。そこへ中心化並進 $t$ （中心化で増えた分数の並進。たとえば $t$ = (1/2, 1/2, 1/2)）を 後ろから足す ことを考える。

X'' = W X + w + t

ここで $X''$ は、「もとの操作で写してから、さらに $t$ だけ並進した先」の点だ。これも対称操作になる。なぜなら「もとの操作で写してから、中心化並進ぶんだけ並進した」だけだから、どちらも模様を変えない。つまり ── 一つの操作ごとに、それに中心化並進を足した相棒が、必ずもう一つ生まれる。

C や I は、足せる非ゼロの中心化並進が1つ。だから「足さない・足す」で2通り、操作（の代表）は 2倍。F は、非ゼロの中心化ベクトルが (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2) の 3つあって、「どれも足さない」場合を含めると合わせて 4通り、操作は 4倍になる。やっていることは、 $w$ に決まったベクトルを足すか足さないか ── それだけの足し算なんだ。

「3つなのに4通り」？ $2^3=8$ じゃないの？ ここは引っかかりやすい。F格子の中心化並進は、独立にオン・オフする3本のスイッチではないんだ。意味は「単位胞の中で区別される“代表”が、ぜんぶで4つある」ということ。

(0, 0, 0)

(1/2, 1/2, 0)

(1/2, 0, 1/2)

(0, 1/2, 1/2)

たとえば二つ目と三つ目を足すと (1, 1/2, 1/2) になるけれど、modulo 1 では (0, 1/2, 1/2)、つまり四つ目に戻ってしまう。だから新しい5つ目は生まれない。3本のベクトルの足し算が、この4つの代表の中で“閉じている”んだ。

心	余分な点	中心化並進	胞あたりの格子点	等価点のかけ算
P	なし	──	1	×1
C	底心（対向面）	(1/2, 1/2, 0) の1つ	2	×2
I	体心	(1/2, 1/2, 1/2) の1つ	2	×2
F	全面心	3つ（足さない＝4通り）	4	×4

「胞あたりの格子点」と「等価点のかけ算」が同じ数になっているのは、偶然じゃない。どちらも「中心化並進が、何通りの相棒を生むか」を数えているんだ。

192 の正体

ここまで来ると、最初に挙げた謎がほどける。空間群エクスプローラーで Fm-3m を開くと、一般の点の等価点が 192個 ずらりと並ぶ。なぜそんなに多いのか。

ひとつ、言葉を正確にしておく。192 という数は「対称操作の総数」ではない。空間群そのものは、無限に多くの操作を持っている ── 格子並進（隣の胞、その隣…）を全部含むからだ。192 は、その無限の中から 格子並進ぶんを同一視した、代表の操作の数。言いかえると、単位胞の中で区別される、一般の点の等価点の数 だ。

その数は、こう分かれる。

192 = \underbrace{48}_{\text{点群 } m\bar{3}m} \times \underbrace{4}_{\text{面心 } F}

立方晶のいちばん豪華な点群 $m\bar3m$ は、回転・鏡・反転を全部数えると 48個 の操作を持つ。岩塩や銅のような 面心（F） の結晶では、そこに中心化の ×4 がかかる。 $48 \times 4 = 192$ 。ただそれだけのことだったんだ。── 巨大な数に見えたものが、「点群の操作 × 心のかけ算」という、二つの小さな数の積に過ぎない。

素な胞と、慣用胞

一つ、正直な疑問が残る。体心や面心は、中心化並進を含んでいる。なら、その並進を辺に選んで、もっと 小さな箱 にしてしまえばいいんじゃないか？ ── 実は、できる。格子点をちょうど1個だけ含む最小の箱を 素な胞（primitive cell） といって、面心格子もこの小さな素な胞で表せる。

それでも大きい箱を使うのは、そのほうが結晶の対称が目に見えるから だ。面心立方を無理に素な胞で書くと、箱の形が立方体でなくなって、せっかくの「立方体らしさ（ $m\bar3m$ ）」が隠れてしまう。少し大きく取って、角＋面心という冗長な書き方をするほうが、対称がそのまま箱の形に出る。この「対称が見やすいように選んだ、中心化を含む箱」を 慣用胞（conventional cell） という。見やすさのために、あえて大きい箱を選んでいるんだ。中心化並進は、まさにこの慣用胞の中にだけ現れる分数の並進、というわけだね。

言葉の整理（素な胞 / 慣用胞）

素な胞（primitive cell）：いちばん小さい、くり返しの箱。格子点はちょうど1個ぶんだけ入る。

慣用胞（conventional cell）：対称性が見やすいように選んだ箱。立方晶なら「立方体に見える箱」を使いたい。そのかわり、F格子やI格子では、箱の中に複数の格子点が見える。

centering とは結局、「慣用胞の中に、素な胞より多くの格子点が見えている」という話なんだ。

次は、ほんものの結晶へ

これで、周期結晶の対称を組み立てる部品が出そろった。並進（格子）、回転（と、許される回数の制限）、らせん・映進（並進の混ざった操作）、そして心（増えた並進）。あとは、この足場の上に 本物の原子 を置くだけだ。

次は、岩塩（NaCl）を例に、いま掴んだ部品が実際の結晶でどう効いているかを見にいく。そこでは、教材用の3D空間群エクスプローラーにも、はじめて触れてみよう。