結晶は、約束でできている ── 並進と、点を増やす対称

今回の持ち帰り：周期結晶は、格子と基底を、並進でくり返したもの。

「結晶」と聞くと、硬いとか、透きとおっているとか、きれいな多面体とか、そういう見た目を思い浮かべるかもしれない。でも、結晶を結晶にしているのは、そのどれでもないんだ。たった一つの、もっと素朴な約束。

先に一つだけ、ことわっておく。この章で「結晶」と呼ぶのは、周期結晶 ── 同じ模様が規則正しくくり返すタイプの結晶だ。世の中には、そのくり返しの約束を外した結晶（準結晶）もある。でもそれは、この道のいちばん最後にとっておく。まずは、約束を守る世界から始めよう。

その周期結晶を周期結晶にしている約束は、これだ。

同じ模様が、並進（平行移動）でどこまでもくり返す。

これだけ。雪の六角形も、岩塩の立方体も、根っこにあるのはこの一行だ。ある模様を、決まった向きに決まった分だけずらすと、ぴったり元と重なる ── その「ずらし方」の足場を 格子 という。

格子と基底 ── 結晶構造の二つの部品

ここで言葉を三つ、短く分けておくと、この先がずっと楽になる。

• 格子（lattice）：模様をどこへずらせば重なるか、その「ずらし方の足場」だけを取り出した、点の並び。中身は空っぽで、位置だけを表す。
• 基底（basis）：その格子点の一つひとつに置く、原子の中身。原子1個のこともあれば、分子まるごと何十個のこともある。
• 結晶構造（crystal structure）：その二つを組み合わせたもの。式のように書くなら、

格子は「どこに置くか」、基底は「何を置くか」だ。岩塩なら、格子は立方体状に並ぶ点、基底はNa⁺とCl⁻のひと組、ということになる。同じ格子でも、置く基底が違えば別の結晶になる ── この区別は、あとで効いてくる。

対称操作は、点をコピーする

周期結晶には、並進のほかにも「自分自身にぴったり重なる動かし方」がいくつもある。回す、鏡に映す、ひっくり返す ── こういう「動かしても模様が変わらない」操作を、まとめて 対称操作 という。

難しく考えなくていい。対称操作のいちばん素朴な姿は、こうだ。

ある点を、別の場所へコピーする。

一個の点を置くと、対称操作はそれを別の場所へ写す。模様全体が自分に重なるということは、点の一つひとつも、どこかの点へきっちり移るということだから。だから「対称操作を知る」というのは、まず「点がどこへ、どう増えるか」を見ることなんだ。

「コピー」の意味を、一つだけ補足。ここでいう「コピー」は、原子を新しく作り出すという意味じゃないよ。「ある位置に原子があると決めたら、対称性によって “同じ役割をもつ位置” がほかにも自動的に決まる」という意味だ。空間群は、代表のひと点から等価な点を生成するルール、と思っておけばいい。

ここで、コピーされる点に小さな目印を付けておくと、すごく見通しが良くなる。点に 三脚（直交する2本の矢印 ── 赤を x、緑を y としよう）と、向きのわかる F の字を貼っておく。すると、コピーが「ただ移っただけ」なのか、それとも「裏返った」のかが、目で見えるようになる。

コピーには、2種類ある

ここで一つ、絵を言葉に翻訳しておく。さっきの三脚 ── 赤(x)と緑(y)の矢印 ── が、操作で どこへ向くか を書き留めるだけで、操作はぜんぶ表せるんだ。

「赤い矢印はこっち、緑の矢印はこっちへ向く」。この行き先を並べた小さな表が、数学でいう 行列 だ。むずかしく考えなくていい。行列とは「矢印たちの行き先のメモ」── ただそれだけ。

ひとつ注意。この行き先のメモ（行列の中の数）は、どの向きを x・y に選ぶかで変わる。同じ操作でも、座標の取り方を変えれば、数も変わるんだ。だから本体は「行列の数」ではなく、その数が表している「操作」のほう。座標は、それを書き留めるための、こちらが勝手に引いた目盛りにすぎない。

そして、その行き先の組には、たった一つの大事な分かれ目がある。赤→緑の回り向きが、保たれるか・逆になるか。

• 回り向きが 保たれる ── 向き（右手系か左手系か）はそのまま。回転 と 並進 がこれ。第1種 の操作。
• 回り向きが 逆になる ── 右手系と左手系が入れ替わる。これが 第2種。代表は 鏡映（鏡に映す＝左右反転）。3次元では、原点を通して反対側へ移す 中心反転 $(x,y,z)\to(-x,-y,-z)$ や、回反もここに入る。

紛らわしい点を、先に正直に分けておく。2次元での「点対称」── $(x,y)\to(-x,-y)$ ── は、実は 180°回転と同じ写像 で、回り向きは保たれる（$\det=+1$、第1種）。中心反転が「裏返す」第2種（$\det=-1$）になるのは、3次元から なんだ。下のラボでも、そこは混ぜずに分けてある。

この分かれ目には、ちゃんと名前と計算がある。あとで効いてくるから、ここで一度だけ書き下しておくね。行列が「掛けて足すだけ」だと分かれば、もう怖くない。

三脚の行き先を数で書くと、操作は4つの数の表になる。点 $(x,\,y)$ がどこへ行くかは、こう計算する。

記号の意味を、いちおう全部書いておく。$(x,\,y)$ は もとの点 の座標。$(x',\,y')$ は、操作で 写った先 ── コピーの座標 だ。右肩の「′（プライム）」は“写したあと”の印、と思ってくれていい。$a,\,b,\,c,\,d$ は、その行き先を決める4つの数 ── さっきの「三脚の行き先のメモ」を、数にして並べたものだね。

やってることは、掛けて、足す。それだけだ。たとえば 90°回転なら $a,b,c,d = 0,-1,1,0$、つまり $W=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ で、

$(x,\,y)$ が $(-y,\,x)$ へ。たしかに反時計まわりに 90°回っている。鏡（左右の反転）なら $a,b,c,d=-1,0,0,1$、$W=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$ で $(x,\,y)\to(-x,\,y)$。── 三脚の「赤と緑の行き先」を、そのまま数にして並べただけなんだ。

第1種か第2種かは、この4つの数から $ad-bc$ を計算すると分かる（これを 行列式 $\det W$ という ── 三脚が囲む面積が、向きごと保たれるか裏返るかを測る数だ）。$+1$ なら回り向きそのまま＝第1種、$-1$ なら裏返る＝第2種。90°回転は $0\cdot0-(-1)\cdot1=+1$、鏡は $(-1)\cdot1-0\cdot0=-1$。数が、目で見た三脚の裏返りと、ぴったり一致する。

言葉だけだとピンと来ないと思う。だから触ってみよう。下のミニラボで、点（と三脚と F）を一つ置いて、「鏡（左右反転）」と「回転 180°」を切り替えてみて。コピーの 向き がどうなるか、よく見てほしい。$W$ と $\det W$ も、その場で出るようにしてある。

鏡に映したコピーは、F が裏返る。赤→緑の回り向きも逆になる（$\det=-1$）。これが「右手系↔左手系が入れ替わった」＝第2種だ。いっぽう 180° 回しただけのコピーは、F は裏返らない（$\det=+1$、くるっと回っただけ）。同じ「増える」でも、中身がまるで違う。

右手と左手は、重ならない

「裏返るかどうか」なんて、細かい話に思えるかもしれない。でも、これは本物の区別なんだ。

自分の右手と左手を見てほしい。形は同じなのに、どう回しても重ならない。右手を鏡に映すと、ちょうど左手になる。鏡映（第2種）は、この「右と左を入れ替える」操作なんだ。回転（第1種）では、右手はどこまで回しても右手のまま。── 手のように「鏡像が元と重ならない」性質を キラリティ（掌性） という。結晶の中の原子の並びにも、ちゃんとこの右手・左手があって、第1種と第2種は、それを保つか入れ替えるかで、はっきり別物なんだ。

3次元の空間群エクスプローラーでも、等価点の一つひとつに、この三脚が付いている。三脚が左右に反転して見えたら、それは第2種の操作。いま2Dで掴んだ感触を、そのまま3Dへ持っていけるよ。

次は、「いくつ増えるか」

ここまでで、二つ手に入れた。周期結晶の正体は 並進（格子＋基底）であること。そして対称操作は 点をコピーする（しかも第1種と第2種の2通りがある）こと。

次の一歩は、回転にしぼって「いくつコピーが作れるか」を見る。2回、3回、4回、6回 ── と回していくと、点はきれいな多角形に並ぶ。でも、そこに最初の約束が顔を出す。そのコピーたち、並進と握手できる？ 答えは、ある数だけ「できない」。五角形の結晶が無いのは、そのせいなんだ。

そこは、次の回で。