重ね合わせ ── 一発の応答を、足し合わせる

前回 は、点をひとつ叩くと丸い波が広がること（点源の応答）、そしてそれを並べて足すと干渉・ホイヘンス・ビームフォーミングになることを見た。今日は、その「足す」を、もっと素朴で、もっと強力な道具として正面から掴む。

底にあるのは、たったひとつの考えだ ── 一発叩いたときの返事さえ分かっていれば、どんなに複雑な入力に対する答えも、その返事の“足し算”で出てしまう。 これが 重ね合わせ。波でも、回路でも、場でも、同じ手が効く。

一発の応答 ── インパルス応答

まず「一発叩く」を決める。ごく短く、鋭く、一回だけ突く。これを インパルス（撃力）という。── インパルスというと数学っぽく聞こえるけれど、要するに「一瞬だけ、どんと入れる」ことだ。現実に無限に細い針が刺さる、という意味じゃなくて、短いクリックや、ハンマーの一撃を理想化したものだと思えばいい。それに対するシステムの返事が インパルス応答 $h$ だよ。

• 水面をちょん、と突けば → 丸い波紋が広がる。
• 鐘を一回叩けば → ポーンと、決まった音で鳴って減衰する。
• ばね玉の鎖 の一個を弾けば → 波が走って、端で跳ね返る。
• コンデンサに一瞬だけ電流を流せば → スッと充電して、ゆっくり放電する。

システムごとに、この「一発の返事 $h$」の形は違う。でも、いったん $h$ が分かると ── 次がすごいんだ。

なぜ「比例」じゃ足りないのか

ここで素朴な疑問が出る。線形なら、出力は入力に比例して $y(t) = k\,x(t)$ ── ただの定数倍でいいんじゃないの？

そうならないのは、$h$ が一瞬で終わらないから だ。一発叩いた返事は、たいてい 尾を引く。

例1：コンデンサ（RC回路）

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ の RCローパス（入力電圧 → コンデンサ電圧）を考える。ごく短い入力をひと突き入れると、コンデンサの電圧はスッと立ち上がり、そのあと $R$ を通して ゆっくり放電 していく。その返事（インパルス応答）は

$h(t) = \frac{1}{RC}\,e^{-t/RC}\qquad(t\ge 0)$

時定数 $RC$ で減っていく尾 ── これが 記憶 だ。$RC$ が長いほど、過去を長く引きずる。ためしに一定の入力 $x(t)=X$ を入れて、過去について足し合わせる（畳み込む）と、

$y(t) = \int_0^{t} X\cdot\frac{1}{RC}\,e^{-(t-\tau)/RC}\,d\tau = X\bigl(1 - e^{-t/RC}\bigr)$

あの見慣れた 充電カーブ が出てくる。これは「過去の入力 × まだ残っている応答」を足した、畳み込みそのもの。$y=k\,x$ では、この“じわっと立ち上がる”形は絶対に出ない。

例2：部屋の残響

手をパンと叩くと、直接音のあとに、壁で反射した音が遅れて届き、それがまた反射して…と、だんだん小さくなりながら続く。応答は「減衰するこだまの列」：

$h(t) = \delta(t) + a\,\delta(t-T) + a^2\,\delta(t-2T) + \cdots\qquad(0<a<1)$

（$\delta$ は“一発の叩き”そのもの＝無限に細いスパイク。$T$ は反射1回ぶんの遅れ、$a$ は1回ごとの減衰。）これを入力 $x$ と畳み込むと、

$y(t) = x(t) + a\,x(t-T) + a^2\,x(t-2T) + \cdots$

つまり 原音 ＋ 遅れて小さくなったコピーの足し算。部屋が音に“残響を足す”操作は、そのまま畳み込みだ。離散の和でも、なめらかな積分でも、やっているのは同じ『過去の返事を足す』だよ。

この「尾を引く＝記憶」が肝だ。記憶があると、いまの出力は いまの入力だけ では決まらない。少し前に叩いたぶん、もっと前に叩いたぶんの “まだ残っている返事” が、いまも効いている。だから $y(t)$ は、過去のすべての叩きの「いまだ残っているぶん」を足し合わせたものになる ── ただの比例じゃ済まず、積分 になるのは、これが理由だ。

ここで $\tau$ は「過去のいつ叩いたか」、$h(t-\tau)$ は「その叩き（時刻 $\tau$）が、いま（時刻 $t$）でも“齢 $t-\tau$”としてどれだけ残っているか」を表す。$\tau$ を過去ぜんぶ走らせて足す ── それが、次の畳み込みだ。

（逆に、$h$ が叩いた瞬間だけで消える＝記憶ゼロのシステムなら、過去は効かず、本当に $y(t)=k\,x(t)$ で済む。それは畳み込みの“いちばん簡単な特別な場合” ── $h$ が一点に尖ったスパイクのとき、だよ。）

どんな入力も、応答の足し算

ひとつ前提を置く。同じ叩き方をすれば、いつ叩いても同じ形の返事が返ってくる システム（これを 時間不変 という）を考える。叩く時刻が違っても、返事の形は同じ ── ただ位置がずれるだけ。だから「$\tau$ の時刻に叩いた返事」は、基準の応答 $h$ をそのまま $\tau$ だけずらした $h(t-\tau)$ で書ける。

複雑な入力は、たくさんの小さなインパルスの列 だと思える。各瞬間に、その時の強さだけ突いている、と。

ここで使うのは「各インパルスの返事を、ただ足せばいい」という一手だ。各インパルスが、自分の強さ倍した $h$ のコピーを、自分のタイミングに置く。それを全部足したものが、出力 ── そう思える。（この“足せる”がいつ成り立つのか、その条件は最後にちゃんと詰めるよ。）

これを式にしてみよう。まず入力を、幅 $\Delta\tau$ の細い短冊に刻む。ここでひとつ引っかかりやすいのは、「なぜ高さ $x(\tau)$ だけでなく $\Delta\tau$ も掛けるの？」という所。インパルスの“強さ”は、高さそのものじゃなくて、その一瞬でどれだけ入れたか、つまり面積 だからだ。だから時刻 $\tau$ の短冊は、高さ $x(\tau)$ に幅 $\Delta\tau$ を掛けた 強さ $x(\tau)\,\Delta\tau$ のインパルス1本 とみなせる。

その1本が作る返事は、応答 $h$ をその強さ倍して、$\tau$ だけ遅れて始める：

$x(\tau)\,\Delta\tau \cdot h(t-\tau)$

$h(t-\tau)$ の「$t-\tau$」は、$\tau$ に始まった返事を、観測時刻 $t$ では“齢 $t-\tau$”の所で見ている、という意味だよ。たとえば、2秒の所で叩いた返事を5秒の時点で見るなら、叩いてから3秒たっている ── だから読むのは $h(3)$。これを文字で書くと $h(t-\tau)$ になる（叩いてから経った時間ぶん、応答カーブの先を読んでいる、というだけ）。

「足せばいい」なら、出力はすべての短冊の返事の和だ：

$y(t) \;\approx\; \sum_{\tau} x(\tau)\,h(t-\tau)\,\Delta\tau$

あとは短冊を無限に細くする（$\Delta\tau \to 0$）。和はなめらかな積分に化けて、

$y(t) = \int x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau$

読めなくても大丈夫。 この式の中身は、ずっと『応答 $h$ を、強さ倍して、ずらして、足す』のまま ── それを記号に翻訳しただけだ。$\int$ は、その“細かい足し算”の印。これが 畳み込み（コンボリューション）。突然わいてきた式じゃなくて、鎖を波動方程式にした ときと同じ「細かく刻んだ和 → 積分」の手なんだよ。

ここで、少し見方が変わる。さっきまでは「各時刻 $\tau$ に置いた返事 $h(t-\tau)$ を、$\tau$ について足す」と見ていた。いっぽう、観測時刻 $t$ のほうを固定して $\tau$ を動かすと、$h(t-\tau)$ は $\tau$ に対して 左右反転した形 に見える。だから教科書では「$h$ を反転して滑らせる」と言う ── 同じ式を、別の向きから眺めているだけなんだ。

結局やっていることは、$h$ を反転して、入力の上を滑らせ、重なりを掛けて足す、これだけ。下の「畳み込みスライダ」で、その「滑らせて足す」を手で動かせる。画像なら、小さなカーネル（＝2次元の $h$）を写真の上で滑らせる『畳み込みを一歩ずつ』も、まったく同じことだよ。

▶ 畳み込みスライダを触る ↗ 画像の畳み込みを一歩ずつ ↗

もうひとつの足し算 ── フーリエ

さっきのインパルスは、複雑な入力を 「時間の一点」ごと に分けて足す方法だった。じつは線形システムには、もうひとつ“相性のいい”分け方がある ── 「振動数ごと」 に分ける、サインの波 だ。どちらも、複雑なものを単純な部品に分けて、あとで足し戻す ── 同じ作戦の、ものさし違いなんだ。

なぜサインなのか。時間で性質が変わらない線形システム（叩く時刻によらず同じ振る舞いをする ＝ さっきの“線形かつ時間不変”）にサインを1本入れると、定常状態では、出てくるのも同じ振動数のサイン（大きさと位相が変わるだけ）。形も振動数も変わらない。サインは、こういうシステムを“素通り”できる特別な形なんだ。だから入力を サインの足し算 に分けておくと、システムの仕事は『各サインを、決まった倍率で大きく／小さくするだけ』になって、これ以上ないほど簡単になる。波・回路・場のいたる所にフーリエが顔を出すのは、これが理由だよ。

そして嬉しいことに、かなり広い範囲の形は、いろいろな振動数のサインを足し合わせれば作れる。『Fourier スケッチブック』に好きな形を描くと、それが回る円（＝サイン）の重ね合わせに組み立て直されていくのが見える。点（インパルス）で足すか、サインで足すか ── ものさし（基底）が違うだけで、やることは同じ「単純な部品に分けて、ひとつずつ解いて、足し戻す」。ただ、線形システムにとっては、サインの方が“仕事が楽”な分け方になっているんだ。

▶ Fourier スケッチブックで描く ↗

（この「各サインがただ倍率を受ける」を畳み込みの言葉で言い直すと、“畳み込み＝ただの掛け算”になる。なぜそんなに綺麗になるのかは、信号の回にとっておくよ。）

なぜ足し算でいいのか

ここまで「足せばいい」を、当たり前のように使ってきた。最後に、その“足せる”の正体に触れておきたい。

うっかり「足せるのは線形だから。線形とは足せること」と言うと、ただの堂々巡りになる。だから、足し算を持ち出さずに言い直そう。あるシステムが、次の 2つの振る舞い を持つとき、それを 線形 と呼ぶ：

• 比例：叩く強さを2倍にすると、返事もきっかり2倍になる（3倍なら3倍、半分なら半分。歪まない）。
• 独立：2か所を同時に叩いても、片方の返事は、もう片方の存在を気にしない（互いに干渉せず、ただ並ぶ）。

この2つは、口で言うだけでなく 実際に試せる ── 入力を2倍にして、出力は2倍か？ 2つ一緒に入れて、出力はそれぞれの和か？ そして、この2つが成り立つとき “だけ”、複雑な入力を部品に分けて足し戻す、というあの手が使える。つまり「足し算でいい」は線形の言い換えじゃなくて、比例と独立という、確かめられる2つの事実から出てくる帰結 なんだ。

（もうひとつ。$h(t-\tau)$ と“ずらして”書けたのは、この節のはじめに置いた 時間不変（いつ叩いても同じ形の返事）のおかげだ。正確に言うと、畳み込みでぜんぶ表せるのは、線形で、かつ時間不変 なシステム。この2つが揃って初めて、あの手が回る。）

そして、この2つが破れる世界もある。非線形 ── 大波が崩れる所、歪むほど鳴らしたスピーカー、乱流。そこでは2つの波が混ざって、元になかった新しい振動数が生まれたり、足し算があっさり壊れたりする。1と2を一緒に入れても、返事は「1の返事 ＋ 2の返事」にならない。

だから「足し算でいい」は、世界からの 贈り物 みたいなものだ。波や場が、こんなに素直に分解して足せるのは、その多くが（少なくとも小さく叩くうちは）比例と独立を守る ＝ 線形だから。

そして、足し算が効くということは ── たった一発の応答 $h$ さえ知れば、そのシステムの“ぜんぶ”が分かる、ということでもある。次は、この考えを「場」に持ち込む。空っぽの空間に、源をひとつ置いたときの“返事”を覚えて、それをたくさん足し合わせる ── やることは、今日とまったく同じだ。ただ、その足し算の向こうに、自然界をいちばん深く貫く骨（保存）が見えてくる。